German 16

Andreas Kriegl's Kategorientheorie PDF

By Andreas Kriegl

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In einer sich immer schneller verändernden Welt ist Gelassenheit ein hehres intestine. Kai Hoffmann zeigt, warum es hilft, Abstand zu eigenen Gedanken und Gefühlen nehmen, wie guy es schafft, gedanklich im Hier und Jetzt zu bleiben und alle vorhandenen Ressourcen zu aktivieren und warum Klarheit über eigene Werte und Ziele die beste Gelassenheitspolice ist.

New PDF release: Interkulturelle Kompetenz durch Auslandsaufenthalte:

In einer der größten Längsschnittstudien dieser artwork liefert der Autor einen empirischen Nachweis für die optimistic Wirkung bildungsbezogener Auslandsaufenthalte auf die Entwicklung interkultureller Kompetenzen. Erstmalig wird aufgezeigt, dass der Zugewinn interkultureller Kompetenzen weitgehend unabhängig von der Gestaltungsform der Auslandsaufenthalte auftritt.

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Dann ist f˜ ein Gruppenhomo von A ∪ {b} → X welcher f fortsetzt, also ein Widerspruch. Andernfalls definieren wir f genauso, wobei diesmal x beliebig gew¨ahlt werden kann. Die injektiven Objekte sind also genau die teilbaren. Diese haben folgende Bedeutung. Man betrachtet lineare Gleichungssysteme der Form nji xj = aj mit nji ∈ Z, xj , aj ∈ X. j j Wir k¨ onnen die linke Seite fi := j ni xj als Element in der freien Abelschen Gruppe F (J) mit Erzeugern {j : j ∈ J} auffassen. h. fj → aj l¨aßt sich zu einen wohldefinierten Homomorphismus f : F0 := fj : j ∈ J → X erweitern.

H. einen Funktor X : I → Set auf einer kleinen Kategorie I, den Limes lim X als L¨ osung folgenden universellen Problems (∀U, fi mit Xh ◦ fi = fi ) beschreiben: i h Gi Xh G Xi G Xi Y h ‰RR˜pp w p w p RR pppi i w  w p w RR pp w  ww  RR fi RR limy X  fi RR  RR !  R  U ... G ... Wenn wir also ein Objekt U zusammen mit einer Familie von Morphismen fi : U → Xi f¨ ur alle Objekte i von I, welche f¨ ur jeden Morphismus h : i → i in I die Gleichung Xh ◦ fi = fi erf¨ ullen einen Kegel u ¨ber X nennen, dann ist der Limes von X ein Kegel u ¨ber X, sodaß jeder andere Kegel (U, (fi )i ) einen eindeutigen Morphismus f : U → lim X zul¨aßt, der f¨ ur alle Objekte i in I die Gleichungen pi ◦ f = fi erf¨ ullt.

13 Lemma. Es sei (I, ) eine gerichtete Menge und J ⊆ I eine initiale Teilmenge, das soll heißen: f¨ ur jedes i ∈ I existiert ein j ∈ J mit j i. Sei F : (I, ) → C ein Funktor. Dann existiert lim F genau dann, wenn lim F |J existiert, und die bei←− ←− den sind gleich. Beweis. 16 ) u ¨ber F und F |J : Keg(F ) ∼ = Keg(F |J ), (fi )i∈I → (fi )i∈J . at c 3. 14 3. Limiten Zu jedem Kegel (fi : i ∈ I) von F assoziieren wir den Teilkegel (fi : i ∈ J) von F |J . Umgekehrt konstruieren wir aus einem Kegel (fj : j ∈ J) von F |J wie folgt einen Kegel (fi : i ∈ I) von F .

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Kategorientheorie by Andreas Kriegl


by Robert
4.3

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